优化理论稍微深入些，就会涉及到锥这个概念，甚至还有专门的锥优化这个研究领域。我一直很奇怪锥到底是什么，准备查阅相关资料，将自己的理解写到博客里面。
文章目录
1. 锥（cone）2. 凸锥（convex cone）3. 范数锥（norm cone）4. 二阶锥（second order cone）5. 二阶锥规划（second order cone programming，SOCP）5.1 二次凸规划
1. 锥（cone）
对于一个向量空间
V
V
V 与它的一个子集
C
C
C，如果子集
C
C
C 中的任意一点
x
x
x 与 任意正数
a
a
a， 其乘积
a
x
ax
ax 仍然属于子集
C
C
C， 则称
C
C
C 为一个锥。
若向量空间为3维，满足定义的图像确实像一个锥，我猜这应该是它叫锥的原因。
根据定义，一个锥总是无界的。
2. 凸锥（convex cone）
若一个锥
C
C
C 中任意两点
x
x
x 与
y
y
y，以及任意两个正数
a
a
a 与
b
b
b， 都有
a
x
+
b
y
ax+by
ax+by 属于
C
C
C， 则该锥为凸锥。
显然上图也是一个凸锥。根据定义，凸锥也是一个凸集。 是否存在一个不是凸锥的锥？典型的例子：
y
=
∣
x
∣
y=|x|
y=∣x∣ 一个点 （-2， 2）， 另一个点 （1，1）， 它们的和 （-1, 3）不在图形里。它的图形： 但是
y
≥
∣
x
∣
y\geq |x|
y≥∣x∣ 就是一个凸锥
3. 范数锥（norm cone）
一个 n 维范数锥是满足下列条件的集合：
C
=
{
(
x
,
t
)
∣
∥
x
∥
≤
t
,
x
∈
R
n
−
1
,
t
∈
R
}
C=\left\{(x, t)\mid \|x\|\leq t, x\in\mathbb{R^{n-1}}, t\in\mathbb{R}\right\}
C={(x,t)∣∥x∥≤t,x∈Rn−1,t∈R} 范数锥是一个凸锥。（范数锥里面的变量不仅包括
x
x
x，还包括
t
t
t.）
翻译成范数锥更好，比标准锥更接近定义
4. 二阶锥（second order cone）
二阶锥规划是一种非常特殊的非线性优化，有非常高效的求解算法，非常有必要了解一下什么是二阶锥。所谓二阶是指锥里面用到的是二范数，下面的表达式表示一个二阶锥。
∥
A
x
+
b
∥
2
≤
c
T
x
+
d
\|Ax+b\|_2\leq c^Tx+d
∥Ax+b∥2≤cTx+d
二阶锥相当于对标准锥
C
=
{
(
x
,
t
)
∣
∥
x
∥
2
≤
t
,
t
≥
0
}
C=\{(x,t)\mid \|x\|_2\leq t, t\geq 0\}
C={(x,t)∣∥x∥2≤t,t≥0} 做了一个仿射变换：
∥
A
x
+
b
∥
2
≤
c
T
x
+
d
⟺
(
A
x
+
b
,
c
T
x
+
d
)
∈
C
\|Ax+b\|_2\leq c^Tx+d\Longleftrightarrow\Big(Ax+b, c^Tx+d\Big)\in C
∥Ax+b∥2≤cTx+d⟺(Ax+b,cTx+d)∈C 根据仿射变换的性质，变换后凹凸性不变，因此二阶锥仍然是一个凸锥。 注：对向量
x
x
x 仿射变换 (相当于将一个图形平移，或变大变小，或旋转，或倒影）：
y
=
A
x
+
b
y=Ax+b
y=Ax+b，其中
A
x
Ax
Ax 表示对
x
x
x 变大或变小或旋转倒影，而
+
b
+b
+b 表示平移。
5. 二阶锥规划（second order cone programming，SOCP）
很多问题都可以转化为二阶锥规划来求解，而二阶锥规划能够使用内点法很快求解。
5.1 二次凸规划
二次规划可以转化为二阶锥规划。一个二次凸规划表达式：
X
T
A
X
+
q
T
x
+
c
≤
0
X^TAX+q^Tx+c\leq 0
XTAX+qTx+c≤0 转化成下面的二阶锥：
∥
A
1
/
2
x
+
1
2
A
−
1
/
2
q
∥
2
≤
1
4
q
T
A
−
q
−
c
\left\|A^{1/2}x+\frac{1}{2}A^{-1/2}q\right\|_2\leq \sqrt{\frac{1}{4}q^{T}A^-q-c}
A1/2x+21A−1/2q
2≤41qTA−q−c
就能使用二阶锥规划求解了。